第56讲 排列与组合（解析版）
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第56讲 排列与组合
课程标准
1、通过实例，理解排列、组合的概念．
2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
基础知识回顾
知识梳理
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝____(n，m∈N*，并且m≤n)
A＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，规定0！＝__1__．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝____(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝__C__．
性质2：C＝__C＋C__．
性质3：mC＝__n·C__．
自主热身、归纳总结
1、某校“数学俱乐部”有高一学生7人，高二学生10人，高三学生8人，若从每一个年级各选1名担任负责人，则有________种不同的选法．( )
A. 25 B. 280 C. 560 D. 580
【答案】C
【解析】 根据分步计数原理，高一有7种不同选择，高二有10种不同选择，高三有8种不同选择，共7×10×8＝560种．故选C.
2、从5名男生和4名女生种选出4人参加辩论赛，如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有________种不同选法．( )
A. 20 B. 60 C. 78 D. 91
【答案】 D
【解析】 在9人选4人的所有选法中，去掉甲和乙都不在内的选法，就得到符合条件的选法数：C－C＝91.故选D.
3、 已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A. 表示不同的正数的个数是6 B. 表示不同的比1小的数的个数是6
C.（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6 D.（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
【答案】BC
【解析】对于选项A，若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但=，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，所以选项B正确；对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，所以选项C正确；对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，所以选项D错误．
4、(1)7C－4C＝____；
(2)A＝__ __．
【答案】（1） 0 （2）120
【解析】 (1)7C－4C＝7×－4×＝0；(2)A＝6×5×4＝120.
5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必选科目.从物理、化学、生物、历史、地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有 种(用数字作答).?
【答案】.30
【解析】 “物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化学,选法有
C
5
3
=10(种);第二类,选物理和化学中的一门,选法有
C
2
1
C
5
2
=20(种).所以他选择的组合方式共有10+20=30(种).
例题选讲
考点一 两个计数原理的应用
例1、(1)已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取．如果三位数的中数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？
(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂某某共有多少种？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
【解析】(1)若不重复，三位数先考虑百位情况，共4种选择，十位除去百位已选一个数，也是4种不同选择，个位共3种不同选择，故总共能得到4×4×3＝48个不同的三位数．
若重复，三位数先考虑百位，共4种不同选择，十位共5种不同选择，个位共5种不同选择，故共有4×5×5＝100个不同的三位数．
(2)把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂某某；
第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂某某，共4种涂某某，当5，7异色时，7有2种涂某某，4，8均只有1种涂某某，故第二部分共4＋2＝6种涂某某；第三部分与第二部分一样，共6种涂某某．由分步乘法计数原理，可得涂某某共有3×6×6＝108(种)
变式1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( )
A.64 B.80 C.96 D.120
【答案】B
【解析】5日至9日,日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种);第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种),第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种),共有12+8=20(种).根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为4×20=80.
变式2、满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____.
【答案】13
【解析】 当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有13个．
方法总结：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
考点二 排列的应用
例2 有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；
(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻．
【解析】 (1)不妨先将4个男生看作一个整体，连同三个女生共4个元素进行排列，有A种排法，然后将4个男生全排列，有A种排法，根据分步乘法计数原理有AA＝576(种)不同的排法．
(2)先排男生，有A种排法，再在他们之间和左右两端共5个空档中插入3个女生，有A种排法，故共有AA＝1 440(种)
(3)先不考虑三人的顺序，任意排列有A种，其中每A种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，∴共有＝840(种)另解：七个位置中，先将除甲乙丙外的4人排好，然后按一定顺序排入三个空位中，排法唯一，故有A＝840种排法．
(4)先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有AAA种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有AAA种，故有AAA－AAA＝264(种)
变式1、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解析】 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人前.站排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
变式2、（1）高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A．1 800 B．3 600
C．4 320 D．5 040
（2）将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )
A．1 108种 B．1 008种
C．960种 D．504种
【答案】（1）B （2）B
【解析】（1）先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种)
（2）将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种)/．
方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
考点三 组合的应用
例3、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取
3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555 种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
变式1、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【解析】 (1)无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种选法．故共有CCC＝60(种)不同的分配方式．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有CCCA＝360(种)不同的分配方式．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了A，B，第二步取了C，D，第三步取了E，F，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，∴只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
(4)有序均匀分组问题．在第(3)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90(种)．
(5)无序部分均匀分组问题．共有分配方式＝15(种)．
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种)．
(7)直接分配问题．甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法．共有分配方式CCC＝30(种)．
变式2、（1）从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70
C．66 D．64
（2）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
（3）(2019·**_*在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．
【答案】（1）D（2）16（3）40
【解析】（1）从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．
（2）从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
（3）若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．
方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
考点四 排列与组合问题的综合应用
例4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
【答案】 (1)60 (2)24
【解析】(1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
(2)根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．
变式：（1）某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A.36种 B.24种 C.22种 D.20种
（2）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)
【答案】（1） 24（2）5040
【解析】（1）根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.
（2）根据题意，分2种情况讨论， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 下列条件的排法共有多少种？
（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？
（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【答案】（1）144；（2）1440.
【解析】试题分析：（1）利用插空法，先排男生，产生4个空，再安排女生，最后根据乘法原理得排法，
（2）利用捆绑法，先将甲、乙两人看成一个整体，与其余5人进行全排列，再乘以两人之间全排列得结果.
/6、平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线？
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
【答案】（1）31；（2）80；（3）66；（4）72.
/⑶不共线的五点可连得/条射线，共线的四点中，外侧两点可发生/条射线，内部两点各可发生/条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有/条，故共有
/条射线
⑷任意两点之间，可有方向相反的/个向量各不相等，则可有/个向量
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