数理经济学知识
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证明：
证明性质(ⅰ)到(ⅶ)适用于有多个产出的技术：
多产出下，集合理解为.
性质ⅱ的证明：
对于任何，定义：
则是对于任何q而言是Y(q)的支撑函数。因此，性质成立。
性质ⅲ的证明：
如果Y(q)是闭凸集，则有：
因为，意味性质成立。
性质ⅳ的证明：
令，则有：
因此，，因而有：，用代替w，用代替，可得：，因而性质成立。
性质ⅰ的证明：
性质ⅳ意味着关于w的一次齐次性。令，则有，又因为和是支撑函数，所以，因而关于q是非减的。
性质ⅴ的证明：
对于任何，
令。因为集合Y(q)与集合都是凸的，所以交集也是凸的。
令，以及：同时假设Y(q)是严格凸的，则存在一个,使得：
因此，，这与相矛盾，所以必是单值的。
性质ⅵ的证明：
是Y(q)的支撑函数，根据对偶原理可得。
性质ⅶ的证明：
性质ⅵ意味着如果在处可微的，则有：。作为海塞矩阵，它是对称的。由性质ⅱ可得，它也是半负定的。再由性质ⅳ可得：。因此性质ⅶ成立。
证明性质ⅷ和性质ⅸ成立：
性质ⅷ的证明：
令，以及；令，因为是一次齐次的，所以有：。对于任何,如果，则。因而由可得，，即：。因此，，，因而可得：
综上所述。如果是一次齐次的，那么和对q一次齐次的。
性质ⅸ的证明：
令，以及；再令，，则有：，。因而有：
因此，如果是凹函数，那么是q的凸函数。
当生产集是固定收益类型，成本函数可以是尤其有用的。在这种情况下，在任何允许非零产出的价格向量下不是单值的，使Hoteling的引理[命题5.C.1(ⅵ)]在这些价格下是不适用的。但是，有条件的输入需求却可能不是单值的，允许我们使用Shepard的引论。然而要记住成本函数不包括比利润函数更多的信息。事实上，我们知道从在凸性限制下的命题5.C.1和5.C.2的性质(ⅲ)下利润和成本函数有一对一的对应关系。也就是说，在任一函数中，生产集可以被恢复，并且另外一个函数可以被派生出来。
使用这个成本函数，我们可以***决定它利润最大化生产水平的问题为：
（5.C.5）
对于q利润最大化必要的一阶条件是
（5.C.6）
总而言之，在内部优化上（即如果q*>0），价格等于边际成本。如果在q上是凸的，那么一阶条件（5.C.6）对于q*使公司最优产出水平来说也是足够的。（我们在5.D章节中学习***的供给行为与技术的性质和细节上的成本函数之间的关系）
我们本来应该继续分析利润和成本函数之间的关系，感兴趣的话可以翻阅McFadden(1978)来对这个主题进行更深层次的理解。
例子5.C.1：柯布道格拉斯生产函数对应的利润和成本函数。这里我们派生了例子5.B.2中的柯布道格拉斯生产函数对应的利润和成本函数，。从例子5.B.3中回忆起对应不变的规模回报的情况，对应递减的回报，对应递增的回报。
条件因素需求方程和成本函数是完全一样的形式，并且由完全相同的方式派生出来，由于在3.E中的支出函数（见例子3.E.1；计算上唯一的不同是我们现在不引入）：
并且
这个成本函数的形式是，其中，是一个常数。并且是一个不依赖于产出水平q的生产函数。当我们有了不变的回报，是每单位成本的生产。
一种***供给函数和利润函数的方法是使用这个成本函数并且解决问题（5.C.5）。应用（5.C.6），得到这个问题的一阶条件应该是
（5. 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 策只会增加其生产成本，所以除了q以外，在所有q高.上于，其中，是最佳的长期投入水平[即使的q]。因此对于所有q来说。
它遵循这个事实：对于所有来说，。也就是说，如果的水平处于长期价值，那么短期边际成本等于长期边际成本。几何上，是短期运行函数族的的下包络线，它是由让取所有可能的值生成的。/
图5.D.7:一种投入在短期内固定而长期中可变情况下的成本
长期和短期的成本函数 （b）长期和短期的平均成本
最后观察，给定长期和短期成本函数，企业的长期和短期平均成本函数以及长期和短期供应函数可以按照本节前面讨论的方式推导出来。图5.D.7(a)的平均成本版本见5.D.7(b)。
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