二次根式知识点总结和习题学生用

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二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.??? 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a"g0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.??? 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a㩳0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

知识点五：二次根式的性质

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，?，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：二次根式的运算

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【例题精选】

二次根式有意义的条件：

例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？

（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？②

（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

（4）当时，有意义。

2. 使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

3．已知y=++5，求的值．

4．若+有意义，则=_______．

5. 若有意义，则的取值范围是。

最简二次根式

例2：把下列各根式化为最简二次根式：

分析：依据最简二次根式的概念进行化简，

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。