数列的通项与求和公式
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数列
热点一 数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【例1】 (满分12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本题第(2)问源于教材必修5P47B组T4，主要考查裂项相消法求和.
满分解答 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②1分 (得分点1)
①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，4分 (得分点2)
又n＝1时，a1＝2适合上式，5分 (得分点3)
从而{an}的通项公式为an＝.6分 (得分点4)
(2)记的前n项某某Sn，
由(1)知＝＝－，8分 (得分点5)
则Sn＝＋＋…＋ 10分 (得分点6)
＝1－＝.12分 (得分点7)
得分要点
?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.
?得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.
?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).
【类题通法】求数列通项与求和的模板
第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项.
第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和.
第三步：明确规范地表述结论.
【对点训练】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项某某Tn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，
由题意得
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝
＝
＝－.
【例2】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
解 (1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3，
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，
从而a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)设的前n项某某Sn，由(1)知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
两式相减得Sn＝＋－＝＋－.
所以Sn＝2－.
【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.
第二步：(乘公比)
设{an·bn}的前n项某某Tn，然后两边同乘以q.
第三步：(错位相减)
乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.
第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出Tn.
【对点训练】等差数列{an}的首项a1＝1 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，
∴解得或
又{an}单调递增，
∴∴an＝2n.
(2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.
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