反比例函数图象与三角形面积
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反比例函数图象与三角形的面积
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为_____．
基础：分析学生的解题过程，出现的错误及其根源；从学生思考的角度展现解题思维，排除障碍。
准则：如何思考？怎么完成？什么价值？
策略：强化审题意识、挖掘问题背景，提取问题特征、联想解决方法，突出目标导向、注重前景判断。
操作：
一、分析题意、设计方案
由已知，联立直线与反比例函数的解析式易求得A(2，3)，B(㧟2，㧟3)，根据目标设出C(m，)．解题关键：表达△PBC的面积．
思路一：自然的思考，按条件反映坐标表示线段长，点到直线的距离表示高，底与高表示面积．
（否定此思路——根据问题判断前景）
思路二：有效的思考，注意知识背景、解题的目标，排除运算障碍，简化面积表示方式．
（转换底边和高——依据特征联想方法）
二、完善思考、规范表达
方法一：化斜为直．
由A(2，3)和C(m，)，
易求直线AC的表达式为y＝㧟x＋(＋3)，
∴P(0，＋3)．
由S△PBC＝S正方形BDEF㧟S△BCD㧟S△CPE㧟S△BP 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，S△POC＝·(＋3)m＝10．解得m＝．
∴C(，)．
三、反思回顾、总结提高
思路三：简练的思考，注意知识、方法的联系，更综合地运用内在关系，简练地表达条件和结论．
方法四：优化基本的思考．
如图，延长AC交x轴于Q（a，0）．
则S△PBC＝S△ABQ＝S△AOQ+ S△BOQ＝2a=20，
从而得到直线AQ的表达式，进而解得C的坐标．
本题根据北师大版九年级上册教材第159页“做一做”第2题改编．考查学生对直线与双曲线性质综合应用的能力，也考查学生对常值法与待定系数法的掌握，需要较深的数学思考，有较高的区分度，得分率不是太高，属较难题．解决此题方法较多，本题以反比例函数、一次函数图像、几何图形特征与代数关系为背景，考查学生对一次函数、反比例函数性质、含参运算的灵活运用，综合直观考查反比例函数、一次函数、等相关知识，考查割补法求三角形面积方法以及计算能力、转化能力、用字母进行运算的能力，渗透了运动思想、数形结合思想，综合性较强，属较难题. 虽然此题方法甚多，但从阅卷情况看，空白答卷较多，填了答案的也是五花八门，得分率低．反映出多数学生处理一次函数与反比例函数综合题的能力较差，参变量运算能力弱，分析能力和转化意识有待提高．
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