专升本高等数学知识点汇总
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专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1）一般形式的定义域：x∈R
（2） 分式形式的定义域：x≠0
（3） 根式的形式定义域：x≥0
（4） 对数形式的定义域：x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当时，恒有，在所在的区间上是增加的。
当时，恒有，在所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性
定义：设函数的定义区间关于坐标原点对称（即若，则有）
(1) 偶函数——，恒有。
(2) 奇函数——，恒有。
三、基本初等函数
1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。
2、幂函数：， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。
3、指数函数
定义: ， (是常数且，).图形过（0,1）点。
4、对数函数
定义: ， (是常数且，)。图形过（1,0）点。
5、三角函数
(1) 正弦函数:
， ， 。
(2) 余弦函数: .
， ， 。
(3) 正切函数: .
， ， .
(4) 余切函数: .
， ， .
5、反三角函数
(1) 反正弦函数: ，，。
(2) 反余弦函数: ，，。
(3) 反正切函数: ，，。
(4) 反余切函数: ，，。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则
设， ，则
（1）
（2）.
推论
（a)， (为常数)。
（b）
（3）， ().
（4）设为多项式， 则
（5）设均为多项式， 且， 则
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当时，，，，，，，。
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当时，，其余类似。
四、两个重要极限
重要极限I 。
它可以用下面更直观的结构式表示：
重要极限II 。
其结构可以表示为：
八、洛必达(L’Hospital)法则
“”型和“”型不定式，存在有（或）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果当时，函数的增量与自变量的增量之比的极限
== 注意两个符号和在题目中可能换成其他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1） (为常数)
（2）（为任意常数）
（3） 特殊情况
（4），
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
2、导数的四则运算公式
（1）
（2）
（3）（为常数）
（4）
3、复合函数求导公式：设, ，且及都可导，则复合函数的导数为。
三、导数的应用
1、函数的单调性
则在内严格单调增加。
则在内严格单调减少。
2、函数的极值
的点 ——函数的驻点。设为
（1）若时，；时，，则为的极大值点。
（2）若 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 )
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程的解。
写出特征方程并求解
.
下面记,为特征方程的两个根.
（1）时, 则齐次方程通解为：
。
（2）时, 则齐次方程通解为
.
（3）时,有,则齐次方程通解为
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式： 解法步骤：
(1) 写出方程的特征方程 ；
(2) 求出特征方程的两个根；
(3) 原方程的通解如下表所示:
特征方程的根
方程的通解
(4) 再求出非齐次方程的一个特解 ；
(5)那么原方程的通解为 。
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