届**_*高考数学综合测试试卷（一模） （解析版）
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2021年**_*高考数学综合测试试卷（一模）
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．命题p：x2㧟x㧟2＜0是命题q：0＜x＜1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ+μ，则λ㧟μ的值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t）＝101+25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（ ）
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，则a9＝（ ）
A．㧟10 B．10 C．㧟45 D．45
7．设正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
8．已知函数f（x）＝ln（ex+1）㧟x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
二、多项选择题（共4小题）.
9．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c（c＞0），若∠F1PF2是直角，则（ ）
A．|OP|＝c（O为原点）
B．
C．△F1PF2的内切圆半径r＝a㧟c
D．|PF1|max＝a+c
10．如图所示，点P是函数f（x）＝（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，且＝0，则（ ）
A． B．ω＝1 C． D．
11．设a，b为正数，若直线ax㧟by+1＝0被圆x2+y2+4x㧟2y+1＝0截得弦长为4，则（ ）
A．a+b＝1 B．2a+b＝1 C． D．
12．如图三棱锥P㧟ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P㧟ABC的外接球，则（ ）
A．球心到平面PBC的距离是
B．球心到平面ABC的距离是
C．球的表面积是
D．球的体积是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合A＝{x|y＝log2（2㧟x）}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝ （结果用区间或集合表示）．
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6+a7＝1，则S12＝ ，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝ ．
15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有 种（结果用具体数字表示）．
16．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公切线，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①cosC+（cosA㧟sinA）cosB＝0，②cos2B㧟3cos（A+C）＝1，③bcosC+csinB＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c＝1，_____，求角B的值和b的最小值．
18．如图，在四棱锥P㧟ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面CDP，已知PA＝3，PD＝4．
（1）若E为PD中点，求证：PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
19．已知数列{an}的前n项某某Sn，若Sn＝㧟n2+kn（k∈N*），且Sn的最大值为25．
（1）求k的值及通项公式an；
（2）求数列{n?2}的前n项和Tn．
20．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
得分
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ~N（μ，196），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）．
①求μ的值；
②若P（ξ＞2a㧟5）＝P（ξ＜a+3），求a的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，若过焦点的直线与C相交于P，Q两点，所得弦长|PQ|的最小值为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，证明：存在定点N，使得|MN|为定值．
22．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（1，+∞）时，方程aeax㧟2f（x）＝0有两个不等实数根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：+＞1．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：因为＝，
所以数z在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选：D．
2．命题p：x2㧟x㧟2＜0是命题q：0＜x＜1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解：由x2㧟x㧟2＜0得（x+1）（x㧟2）＜0,得㧟1＜x＜2，
∵（0,1）?（㧟1,2），
∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
3．△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ+μ，则λ㧟μ的值是（ ）
A．1 B． C． D．
解：＝，
所以，
所以＝＝＝＝，
若＝λ+μ，
则，μ＝，λ㧟μ＝．
故选：C．
4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t）＝101+25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（ ）
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
解：p（t）＝101+25sin（160πt），
∵㧟1≤sin（160πt）≤1，
∴p（t）∈[76，126]，
即为收缩压为126，舒张压为76，
∵120∈[78，126]，读数120/80mmHg为标准值，
∴收缩压高于标准值、舒张压低于标准值，
即选项C符合，
故选：C．
5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
解：假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．
设该射手每次射击的命中率为p,
∵在两次射击中至多命中一次的概率是，
∴1㧟p2＝,解得p＝．
∴该射手每次射击的命中率为．
故选：C．
6．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，则a9＝（ ）
A．㧟10 B．10 C．㧟45 D．45
解：（1+x）10＝[㧟1+(2+x)]10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，
则a9＝?(㧟1)＝㧟10，
故选：A．
7．设正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解：，则 ，
即P到AC1的距离为，
则P在空间中的轨迹为一个圆柱面，而由题意 P 的轨迹是该圆柱被一平面斜截得到的图形，
则P的轨迹为椭圆的一部分．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝ln（ex+1）㧟x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解：因为f（x）＝ln（ex+1）㧟x，
所以f（㧟x）＝ln（e㧟x+1）+x＝ln（ex+1）㧟x+＝ln（ex+1）㧟x＝f（x），
所以f（x）为偶函数，
因为＝，
当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
因为＝f（log45），b＝f（log56），c＝f（log64），且
因为lg4+lg6＞2，
故lg4?lg6＜＝＜（）2＝（lg5）2，
log45㧟log56＝＝＞0，
所以log45＞log56＞1＞log64，
则a＞b＞c．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得2分．请把正确选项在答题卡中的相对位置涂黑．
9．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c（c＞0），若∠F1PF2是直角，则（ ）
A．|OP|＝c（O为原点）
B．
C．△F1PF2的内切圆半径r＝a㧟c
D．|PF1|max＝a+c
解：设|PF1|＝m,|PF2|＝n,|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝90°,所以在直角三角形PF1F2中有m2+n2＝4c2....①,
由椭圆的定义可得m+n＝2a....②,
联立①②解得mn＝2b2,
所以三角形PF1F2的面积为S＝,故B正确；
因为OP是斜边F1F2的中线，所以|OP|＝＝c,故A正确；
设三角形PF1F2的内切圆半径为r，则S＝b2,
所以r＝＝＝a㧟c,故C正确；
P为椭圆上的一点，当点P为椭圆的右顶点时，|PF1|max＝a+c,
但是此时∠F1PF2≠90°,所以点P不可能为椭圆的右顶点，故D错误，
故选：ABC．
10．如图所示，点P是函数f（x）＝（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，且＝0，则（ ）
A． B．ω＝1 C． D．
解：∵,
∴,
∴△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN,
∵,
∴MN＝π,
∴f(x)的周期为2π，且ω＞0，
∴ω＝1，
又,∴,．
故选：BC．
11．设a，b为正数，若直线ax㧟by+1＝0被圆x2+y2+4x㧟2y+1＝0截得弦长为4，则（ ）
A．a+b＝1 B．2a+b＝1 C． D．
解：由x2+y2+4x㧟2y+1＝0，得(x+2)2+(y㧟1)2＝4，
可得圆心坐标为C（㧟2，1），半径为2，
∵直线ax㧟by+1＝0被圆x2+y2+4x㧟2y+1＝0截得弦长为4，
∴直线过圆心，则㧟2a㧟b+1＝0，即2a+b＝1，
又a，b为正数，∴1＝2a+b，可得ab，当且仅当a＝，b＝时取等号．
又
＝，
当且仅当，即a＝b＝时取等号．
故选：BCD．
12．如图三棱锥P㧟ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P㧟ABC的外接球，则（ ）
A．球心到平面PBC的距离是
B．球心到平面ABC的距离是
C．球的表面积是
D．球的体积是
解：如图，
由AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，
∴AB⊥平面PBC，
取AC中点G，则G为三角形ABC的外心，取BC的中点D，连接GD，
则GD∥AB，可得GD⊥平面PBC，
设△PBC的外心为H，三棱锥P㧟ABC的外接球的球心为O，
连接OG，OH，则OH⊥平面PBC，OG⊥底面ABC，
可得四边形OGDH为矩形，则O到平面PBC的距离等于OH＝GD＝AB＝1，故A错误；
在△PBC中，由余弦定理可得cos∠BPC＝，则sin，
设三角形PBC外接圆的半径为r，可得r＝，
又PD＝，∴O到底面ABC的距离为2㧟，故B正确；
则三棱锥外接球的半径R＝，
则球的表面积是S＝4＝，故C正确；
球的体积为V＝＝，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合A＝{x|y＝log2（2㧟x）}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝ [1,2) （结果用区间或集合表示）．
解：∵A＝{x|x＜2},B＝{x|1≤x≤3},
∴A∩B＝[1,2)．
故答案为：[1,2)．
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6+a7＝1，则S12＝ 6 ，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝ 13 ．
解：根据题意，{an}为等差数列，若a6+a7＝1，
则S12＝＝＝6，
若a7＜0，则S13＝＝13a7＜0，
则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝13，
故答案为：6，13．
15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有 16 种（结果用具体数字表示）．
解：根据题意，产品①不在A机构测试，则产品①必须在B机构或者C机构测试，
若产品①在B机构检测，有C41C33＝4种情况，
若产品①在C机构检测，有C42A22＝12种情况，
则一共有4+12＝16种情况，
故答案为：16．
16．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公切线，则a的取值范围为 [，+∞） ．
解：由y＝ax2（a＞0），得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），
则2ax1＝ex2＝，
可得2x2＝x1+2，
∴a＝，
记f（x）＝，
则f′（x）＝，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴当x＝2时，f（x）min＝．
∴a的范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①cosC+（cosA㧟sinA）cosB＝0，②cos2B㧟3cos（A+C）＝1，③bcosC+csinB＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c＝1，_____，求角B的值和b的最小值．
解：选择条件①cosC+（cosA㧟sinA）cosB＝0，
可得㧟cos（A+B）+cosAcosB㧟sinAcosB＝0，
即㧟cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB㧟sinAcosB＝0，
即sinAsinB㧟sinAcosB＝0，
因为sinA≠0，所以sinB㧟cosB＝0，
所以tanB＝，因为B∈（0，π），
所以B＝，
由余弦定理b2＝a2+c2㧟2accosB＝a2+c2㧟ac＝（a+c）2㧟ac＝1㧟3ac，
因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，
所以b2＝1㧟3ac≥1㧟＝,所以b≥，
即b的最小值为．
选择条件②cos2B㧟3cos（A+C）＝1，
可得2cos2B㧟1+3cosB＝1，即2cos2B+3cosB㧟2＝0，
解得cosB＝或cosB＝㧟2（舍），
因为B∈（0，π），
所以B＝，
由余弦定理b2＝a2+c2㧟2accosB＝a2+c2㧟ac＝（a+c）2㧟ac＝1㧟3ac，
因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，
所以b2＝1㧟3ac≥1㧟＝,所以b≥，
即b的最小值为．
选择条件③bcosC+csinB＝a，
由正弦定理可得sinBcosC+sinCsinB＝sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
即sinCsinB＝cosBsinC，因为sinC≠0，
所以sinB＝cosB，即tanB＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝，
由余弦定理b2＝a2+c2㧟2accosB＝a2+c2㧟ac＝（a+c）2㧟ac＝1㧟3ac，
因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，
所以b2＝1㧟3ac≥1㧟＝,所以b≥，
即b的最小值为．
18．如图，在四棱锥P㧟ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面CDP，已知PA＝3，PD＝4．
（1）若E为PD中点，求证：PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：设AC交BD于O，因为ABCD为正方形，所以O为BD中点，
连接OE，因为E为PD中点，所以PB∥OE，
因为OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE．
（2）解：因为PA⊥平面PCD，CD?平面PCD，所以CD⊥PA，
又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，
又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，
又CD?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，
过P作PF⊥AD于F，连接BF，
又因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PF⊥平面ABCD，
所以PF⊥BF，
所以∠PBF为直线PB与平面ABCD所成的角，
其正弦值为＝＝＝．
直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．
19．已知数列{an}的前n项 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，
因为x∈（1，+∞）时，lnx＞0，所以a＞0，所以eax＞1，x2＞1，
由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以eax＝x2，两边同时取对数可得ax＝2lnx，a＝，
因为方程aeax㧟2f（x）＝0有两个不等实数根x1，x2，所以a＝有两个根x1，x2，
令g（x）＝（x＞1），g′（x）＝，令g′（x）＝0,得x＝e，
当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈(e,+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（e）＝，当x→+∞时，g（x）→0，g（1）＝0，
所以a＝有两个根时0＜a＜，
即a的取值范围是（0，）．
下证：+＞1．
不妨设x1＞x2，令t＝＞1，
ax1＝2lnx1，ax2＝2lnx2，所以a＝，
所以+＝＝＝＝＝＝，
设h（t）＝t㧟㧟2lnt（t＞1），
h′（t）＝1+㧟＝＞0，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（t）＞h（1）＝0，即t㧟㧟2lnt＞0，即t㧟＞2lnt，
由lnt＞0，可得＞1，
所以+＞1，得证．
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