电磁感应--电容器
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1．如图所示，在水平面内有两根间距为l的金属导轨平行放置，导轨末端通过一小段塑料接口与足够长的倾斜平行金属导轨平滑连接，倾角为θ。在区域Ⅰ，Ⅲ和Ⅳ中，存在垂直于导轨向上的匀强磁场，磁感应强度分别为B1，B2和B3；区域Ⅱ中导轨粗糙，宽度为d。其余部分均光滑。磁场边界AA′上放置金属棒a，磁场边界CC′右侧附近静止放置金属棒b，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。现让金属棒a以初速度v0进入磁场，发现它最终刚好停在了CC′（边界左侧），而金属棒b恰能滑入倾斜轨道。已知金属棒a与轨道粗糙部分的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，其余电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，重力加速度取g，求：
（1）在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒b的加速度；
（2）金属棒a在离开区域Ⅰ后产生的焦耳热Q；
（3）金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离xm。（已知自感线圈的自感电动势）
/
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）a棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为，
所以棒b受到的安某某为
由牛顿第二定律得
解得
（2）设金属棒a离开磁场Ⅰ区域时的速度为v1，此时金属棒b的速度为v2，金属棒a在区域Ⅱ中做匀减速运动，可得
棒a穿越磁场区域Ⅰ过程中，由动量定理可得
根据题意有
联立解得
对棒b，在该过程中，由动量定理可得
解得
之后，由能量关系可知，克服安某某做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化成金属棒a的焦耳热Q，有
解得
（3）金属棒b恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0，开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足
可得
所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
所以棒的运动方程为
可知金属棒做简谐运动，平衡位置时，a=0，即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
2．如图所示，在间距L=0.2m的两光滑平行水平金属导轨间存在方向垂直于某某（向内为正）的磁场，磁感应强度为分布沿y方向不变，沿x方向如下：
导轨间通过单刀双掷开关S连接恒流源和电容C=1F的未充电的电容器，恒流源可为电路提供恒定电流I=2A，电流方向如图所示．有一质量m=0.1kg的金属棒ab垂直导轨静止放置于x0=0.7m处．开关S掷向1，棒ab从静止开始运动，到达x3=－0.2m处时，开关S掷向2．已知棒ab在运动过程中始终与导轨垂直．求：
/
（提示：可以用F－x图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）棒ab运动到x1=0.2m时的速度v1；
（2）棒ab运动到x2=－0.1m时的速度v2；
（3）电容器最终所带的电荷量Q．
【答案】（1）2m/s（2）（3）
【解析】
【详解】
（1）安某某，加速度，
速度；
（2）在区间，
安某某，如图所示
/
安某某做功；
根据动能定理可得，解得；
（3）根据动量定理可得，
电荷量，
在处的速度，
联立解得；
3．如图所示，有两光滑平行金属导轨，导轨的间距l=1m，左侧接C=0.1F的电容，右侧接的电阻，中间MA、ND段光滑绝缘，ABCD区域、EFGH区域、MN左侧均存在垂直于某某，磁感应强度B=1T的匀强磁场，EFGH区域、ABCD区域的宽度分别为，，FG的右侧固定一轻质弹簧。质量均为m=0.1kg金属杆a、b，金属杆a以速度的速度进入EFGH区域磁场，金属杆b静止在ABCD区域外侧，金属杆a、b的电阻分别为、，金属杆a、b之间的碰撞均为弹性碰撞，求：
（1）金属杆a刚进入磁场时，受到的安某某大小；
（2）全过程金属杆a上产生的焦耳热；
（3）电容器最终的带电量。
/
【答案】（1）；（2）1.87J；（3）0.1C
【解析】（1）电源电动势 电阻R与r2并联，总电阻
（2）金属杆a通过EFGH区域：
金属杆a通过与弹簧碰撞以v=8m/s反弹，经过EFGH区域速度再减掉2m/s，变成
金属杆a、b发生弹性碰撞，满足： 动量守恒
能量守恒 求得金属杆b的速度为
金属杆b通过ABCD区域，电路发生改变：
金属杆a切割产生的总焦耳热
金属杆a分配到1.6J 金属杆b切割产生的总焦耳热
金属杆a分配到 总共产生了1.87J的热
（3）金属杆b进入左侧电容区域，最终金属杆b两端电压和电容器两端电压相等时，匀速。此时速度设为v．电容器上的电量和流过的电量金属杆b相等，设为q
且 求得：q=0.1C
4．如图所示，水平放置的U形导轨宽度为d，左端连接阻值为R的电阻与电容为C的电容器，干路中串联一理想电流表。导轨平面有方向竖直向下、磁感应强度大小满足（y方向不变）的磁场，式中为常量。质量为m、长度为d的金属棒与导轨接触良好，初始位置在处。导轨足够长，磁场区域足够大，电容器原来不带电且耐压足够高，电流表量程足够大，忽略导轨及金属棒的电阻，不计摩擦阻力与其他阻力。现让金属棒在水平拉力作用下向右运动。
(1)仅闭合开关，金属棒做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，求棒位移为时电流表示数的计算式；
(2)仅闭合开关，若电流表的示数恒为I，求运动过程中金属棒所受拉力的最小值，及此时电容器所储存的电场能；
(3)仅闭合开关，当金属棒位移为时速度达到v，此时撤去拉力，且区域的磁感应强度变为，求金属棒的最终速度。
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】(1)金属棒做匀加速直线运动，位移为时的速度为
切割感应电动势 电路中电流大小
(2)设金属棒运动到位移处，速度为，加速度为，此时电容器电荷量
在微元内电容器的电荷量增量
结合电流定义式
加速度定义式 得棒的加速度
对金属棒应用牛顿第二定律得 解得
当 即
时，得拉力最小值 金属棒运动过程，所受安某某
电容器所储存的电场能就是克服安某某做功的数值
(3)金属棒在处撤去拉力后电容器放电，金属棒先做加速运动，后以速度做匀速运动。设此过程电容器释放电荷量为，则有
对金属棒，此过程由动量定理得
联立解得金属棒最终速度
5．如图所示，间距为l=0.5m的两平行金属导轨由水平部分和倾角为θ=30o倾斜部分平滑连接而成。倾斜导轨间通过单刀双掷开关连接阻值R=1Ω的电阻和电容C=1F未充电的电容器。倾斜导轨和水平导轨上均存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度均为B=1T。现将开关S掷向电阻，金属杆ab从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨，运动过程中，杆ab与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab长为l=0.5m，质量为m=0.25kg，电阻忽略不计，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应。
(1)求杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小；
(2)求杆ab在水平导轨上滑行的距离；
(3)若将开关S掷向电容，金属杆ab从倾斜导轨上离低端S=5m处释放，求杆ab到达低端的时间。
/
【答案】(1)5m/s；(2)5m；(3)2s
【解析】
【分析】
到达底端前匀速运动，可求出到达底端时的速度，根据动量定理和流过的电量与位移的关系可求得水平位移；接入电容器后通过受力分析可推出做匀加速运动，从而求得运动时间。
【详解】
(1)设匀速运动时速度大小为v
解得
(2)设移动位移为x
解得
(3)设到低端的时间为t
解得
因此运动的时间
【点睛】
接入电容器后导棒做匀加速运动。
6．如图甲所示两光滑导轨由水平、倾斜两部分平滑连接，相互平行放置两导轨相距L=1m，倾斜导轨与水平面成θ=30°角.倾斜导轨所处的某一矩形区域BB′C′C内有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B1=1T，B、C间距离为L1=2m.倾斜导轨上端通过单刀双掷开关S连接R=0.8Ω的电阻和电容C=1F的未充电的电容器．现将开关s掷向1，接通电阻R，然后从倾斜导轨上离水平面高h=1.45m处垂直于导轨静止释放金属棒ab，金属棒的质量m=0.4kg、电阻r=0.2Ω，金属棒下滑时与导轨保持良好接触，在到达斜面底端CC′前已做匀速运动．金属棒由倾斜导轨滑向水平导轨时无机械能损失，导轨的电阻不计.当金属棒经过CC′时，开关S掷向2，接通电容器C，同时矩形区域BB′C′C的磁感应强度B1随时间变化如图乙所示.水平导轨所处某一矩形区域的CC′D′D内无磁场，C、D间距离为L2=8m.DD'右侧的水平轨道足够长且两水平轨道内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B2=2T.g=10m/s2，求：
/
（1）金属棒刚进入矩形磁场区域BB′C′C时两端的电压；
（2）金属棒通过矩形磁场区域BB'C′C的过程中电阻R产生的热量；
（3）若金属棒在矩形区域CC′D′D内运动，到达DD′前电流为零．则金属棒进入DD′右侧磁场区域运动达到稳定后电容器最终所带的电荷量.
【答案】（1）2.4V（2）4J（3）C
【解析】
【分析】
【详解】
（1）对金属棒进入磁场前的过程，根据机械能守恒定律得：mg（h-L1sin30°）=
可得：v1=3m/s
刚进磁场时的感应电动势：E1=B1Lv1=1×1×3=3V
根据分压关系可得路端电压：U==V=2.4V
（2）金属棒在到达斜面底端CC′前已做匀速运动，根据平衡条件得mgsin30°=F
又安某某F =B1IL=B1L=
联立解得v2=2m/s
金属棒从静止到通过矩形磁场区域BB'C′C的过程中，根据能量守恒定律得：mgh=Q+
电阻R产生的热量QR=Q
解得QR=4J
（3）B1随时间变化4s内，电容器板间电压UC1=LL1
可得，UC1=0.5V
金属棒在无磁场区域内匀速时间t===4s
金属棒进磁场B2时B2刚好不变．电容器继续充电，当电容器充电稳定时，UC2=B2Lv2．
此过程中电容器△Q=CUC2-CUC1
设此过程中的平均电流为，时间为t，根据动量定理有:
-B2Lt=mv3-mv2
其中t=△Q
解得v3=m/s
最终电容器所带的电荷量:Q=CUC2=C
7．如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端 分别与电源（串有一滑动变阻器 R）、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关K相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B．一质量为m，电阻不计的金属棒 ab 横跨在导轨上．已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R0，不计导轨的电阻．
（1）当K接1时，金属棒 ab 在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值 R 为多大？
（2）当 K 接 2 后，金属棒 ab 从静止开始下落，下落距离 s 时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落 s 的过程中所需的时间为多少？
（3） ab 达到稳定速度后，将开关 K 突然接到3，试通过推导，说明 ab 作何种性质的运动？求 ab 再下落距离 s 时，电容器储存的电能是多少？（设电容器不漏电，此时电容器没有被击穿）
/
【答案】（1）（2）（3）匀加速直线运动
【解析】
【详解】
（1）金属棒ab在磁场中恰好保持静止，由BIL=mg
?? 得? （2）由? ?
得?? 由动量定理，得 ?其中 得 （3）K接3后的充电电流 ?mg-BIL=ma???
得=常数 所以ab棒的运动性质是“匀加速直线运动”，电流是恒定的． ??v22-v2=2as 根据能量转化与守恒得?? 解得：
【点睛】
本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要会推导加速度的表达式，通过分析棒的受力情况，确定其运动情况．
8．运用电磁感应可以测量运动物体的速度．当固定着线圈的小车进入磁场时，根据线圈切割磁感线产生的感应电流大小，可以间接测量出小车的速度．如图所示，水平地面上方存在有边界的水平匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B．电阻为R的矩形单匝线圈MNPQ固定在小车A上，其中MN边水平，NP边竖直，高度为L，小车A和线圈的总质量为m．小车载着线圈在光滑水平面上一起以初速度v0(未知)做匀速运动，与另一辆停在磁场边界处且质量也为m的小车C发生碰撞，碰后立刻粘在一起，随后进入匀强磁场，刚进入磁场时线圈中感应电流为I，小车A完全进入磁场时的速度为v1．已知小车由绝缘材料做成，小车长度与线圈MN边长度相同．求：
/
(1)线圈中感应电流的方向和小车A的初速度v0的大小；
(2)小车A进入磁场的过程中线圈产生的焦耳热Q；
(3)小车A进入磁场过程中通过线圈横截面的电荷量q．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
试题分析：（1）根据楞次定律判断线圈中感应电流的方向，AC碰撞动量守恒，切割磁感线产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律求感应电动势，根据闭合电路的欧姆定律列式，联立求出；（2）根据能量守恒定律，求出小车A进入磁场的过程中线圈产生的热耳热Q；（3）根据动量定理求小车A进入磁场过程中通过线圈截面的电荷量．
（1）由楞次定律知线圈中感应电流方向为：M→Q→P→N→M
设小车的初速度为，小车A与C碰撞时，根据动量守恒定律：
线圈切割磁感线感应电动势
由闭合电路欧姆定律得线圈中电流
得：
（2）线圈进入磁场的过程中，系统减少的动能转化成线圈的焦耳热，即
解得：
（3）设线圈从开始进入磁场到完全进入磁场的过程中，线圈的平均电流为
根据动量定理得：
通过的电荷量
解得：
【点睛】本题是电磁感应与力学和能量知识的综合．运用功能关系时，要分析回路中涉及几种形式的能，分析能量是如何转化的是关键．
9．如图甲所示，两根光滑的平行金属导轨MN、PQ相距d =0.5m，导轨与水平面成=37°放置，斜面内匀强磁场的磁感应强度B1=1T，方向垂直导轨平面向下，质量为m=0.1kg的导体棒ab垂直于MN、PQ放在导轨上，与导轨接触良好，导轨间接有R=0.5的电阻，其它电阻均不计。整个运动过程中棒ab一直与导轨垂直，取sin37°=0.6。
/
（1）将棒ab由静止释放，假设导轨足够长，求棒ab能到达的最大速度；
（2）如图乙所示，将电阻换成C=2F的电容(击穿电压较高)，将棒ab由静止释放，导体棒运动到Q、N时的速度v=4m/s，求释放时某某ab离Q、N点的距离；
（3）如图丙所示，在第（2）问的基础上在Q、N处各接上一根相互平行的足够长的水平光滑金属导轨QR、NS，QR与PQ在同一竖直面内，在与QN平行的GH边界右侧导轨间有竖直向下的匀强磁场B2=0.5T， QG间导轨表面有绝缘光滑膜，棒ab经过QN时速度大小v=4m/s保持不变，求最终电容器上所带的电量。
【答案】（1）1.2m/s；（2）8m；（3）C
【解析】
【详解】
（1）棒ab到达最大速度时回路中的电流
I=
分析棒ab受力有
mg=B1Id
解得能到达的最大速度v=1.2m/s。
（2）设在极短时间t内，回路中电流
i====
对棒ab，根据牛顿第二定律
mg-B1id=ma
解得棒ab的加速度a=1m/s2，即棒ab做匀加速直线运动，由v2=2ax可得释放时某某ab离Q、N点的距离
x=m=8m
（3）棒ab在水平导轨极短时间t内，根据动量定理
B2idt=mv
由进入B2到最后匀速运动的过程中，速度由v到v′，由动量定理
B2dq=mv
B2dq=m(v′-v)
另有
q=B1dvC-B2dv′C
q= B2dv′C
解得最终电容器上所带的电量q=C。
答：（1）棒ab能到达的最大速度为1.2m/s；（2）释放时某某ab离Q、N点的距离为8m；（3）最终电容器上所带的电量q=C。
10．如图所示为某研究小组设计的电磁炮供弹和发射装置。装置由倾角θ=37°的倾斜导轨和水平导轨在AB处平滑连接而成，电磁炮发射位置CD与AB相距x=0.4m。倾斜导轨处有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B1，ABCD区域无磁场，CD处及右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B2．倾斜导轨顶端的单刀双掷开关可连接阻值R=1.0Ω的电阻和电容C=0.5F的电容器。质量m=2.0kg、长度L=1.0m、电阻r=1.0Ω的金属杆ab代替电磁炮弹，金属杆与倾斜导轨和ABCD区域导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.5，CD右侧导轨光滑且足够长。供弹过程：开关打到S1处，金属杆从倾斜导轨某个位置及以上任意位置由静止释放，金属杆最终都恰好精确停在CD处；发射过程：开关打到S2处，连接电压U=100V电容器，金属杆从CD位置开始向右加速发射。已知导轨间距为L=1.0m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。
/
(1)求金属杆到达AB处时速度v的大小；
(2)为精确供弹，求磁感应强度B1的大小；
(3)当B2多大时，金属杆的最终速度最大？最大速度为多少？
【答案】(1)2m/s(2)2.0T(3)25m/s
【解析】
【详解】
（1）金属杆从AB到CD的过程，根据动能定理得：
?????????=0?
1
2
??
??
2
可得：
v=2m/s。
（2）为精确供弹，金属杆只要在倾斜导轨上最终达到匀速运动，则有：
????sin??=??????cos??+
??
安
又
F安=
??
1
2
??
2
??
??+??
解得：
B1=2.0T
（3）稳定时金属杆速度最大，设金属杆的最终速度是v1，此时电容器为电压为U1，则有：
U1=B2Lv1
金属杆受到的安某某的冲量，由动量定理得：
∑B2iL△t=mv1-0
即为：
B2Lq=mv1
其中
q=C（U-U1）
联立得：
v1=
??????
??
??
2
+
??
2
??
2
??
当
??
??
2
=B2L2C
即得：
B2=2.0T
最大速度为：
v1=25m/s。
答：(1)2m/s(2)2.0T(3)25m/s
11．某同学设计了一套电磁弹射装置，如图所示，在水平面上固定两根足够长的平行金属导轨，导轨间距为L＝1m，导轨的电阻不计，导轨处于竖直方向、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场（图中虚线之间区域，未画出），连接导轨的电源电动势为E＝40V，电容器的电容为C＝1F．小车底部固定一个与其前端平齐、边长为L的正方形单匝导体线框，线框前后两边的电阻均为R＝0.2Ω，两侧边电阻不计且与导轨接触良好。小车与线框的总质量为m＝lkg．开始小车处于静止状态。现将开关S接1，使电容器完全充电，再将S接至2，小车向前加速运动，在小车开始匀速运动时，将开关S拔回1，随后小车滑出磁场。不计小车在运动过程中的摩擦。求：
/
(1)磁场的方向和小车 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 处，最终A棒恰在PP′处停住．已知两根金属棒的质量均为0.02kg、接入电路中的电阻均为0.1Ω，金属棒与金属导轨接触良好，其余电阻均不计，一切摩擦不计．问：
(1)当开关与1连接时，电容器电量是多少？下极板带什么电？
(2)金属棒A与B相碰后A棒的速度v是多少？
(3)电容器所剩电量Q′是多少？
/
【答案】（1）1C，正电（2）0.4m/s（3）0.88C
【解析】
【详解】
(1)线圈产生的感应电动势为：
开关与1连接时，电容器电量
将开关拨向2时A棒会弹出说明所受安某某向右，电流向上，故电容器下板带正电；
(2)A、B棒相碰之前时，两棒没有构成回路，没有感应电流，A、B棒均作匀速直线运动直至A棒到达OO′处，设碰后A棒速度为v ，由于B棒的位移是A 棒的两倍，故B棒速度是2v．A棒过OO′后在安某某作用下减速．
由动量定理可知：
即
两边求和可得
，
即
；
(3) 设A 棒与B 棒碰前的速度为v0，碰撞过程动量守恒，则有：
，
可得
A 棒在安某某作用下加速，则有：
即
两边求和得：
得
代入前面的数据可知，电容器所剩电量为
．
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